介绍
令\(F\)为非阿基米德局部场，这意味着\(F\)在由非阿基米德绝对值\(|\cdot|\)诱导的度量下是完备的。考虑整数环
\[\mathfrak{o}_F=\{\alpha \in F:|\alpha| \le 1\}\]
及其独特的素数（因此最大）理想
\[\mathfrak{p}=\{\alpha \in F:|\alpha| <1\}.\]
余数域 \(k=\mathfrak{o}_F/\mathfrak{p}\) 是有限的，因为它是紧凑且离散的。对于紧致性，请注意 \(\mathfrak{o}_F\) 是紧致的，而正则投影\(\mathfrak{o}_F \tok\)是开放的。对于离散性，请注意 \(\mathfrak{p}\) 是开放的、连接的并包含该单元。
令\(f \in \mathfrak{o}_F[x]\)为多项式。 Hensel 引理指出，如果 \(\overline{f} \in k[x]\)， \(f\)的约简，在 \(k\) 中有一个简单的根 \(a\)，则根可以提升到 \(\mathfrak{o}_F\) 中的\(f\)的根，因此是 \(F\)。这篇博文旨在为这个引理提供一个组织良好的证明。
为此，我们需要使用牛顿逼近\(f(x)=0\)根的方法，例如
\[a_{n+1}=a_n-\frac{f(a_n)}{f'(a_n)}.\]
我们知道\(a_n \to \zeta\)其中\(f(\zeta)=0\)在 \(A^{2^n}\) 速度下对于某个常数 \(A\)，在微积分 (如果您不熟悉，请做 Walter Rudin 的《数学分析原理》练习 5.25，我衷心推荐。）。现在我们将把牛顿的方法运用到数论中，在一个非阿基米德域中求根，这与初等微积分的游乐场 \(\mathbb{R}\) 截然不同。
我们还将使用归纳法，我称之为“双重归纳法”。我们不是声称 \(P(n)\) 对所有 \(n\) 都为真，而是声称 \(P(n)\) 和 \(Q(n)\) 对所有 \(n\ ）。在证明 \(P(n+1)\) 时，我们可以使用 \(Q(n)\)，反之亦然。
这种方法的灵感来自这个演讲，实际上使用了“二次归纳法”，一切都得到了证明。尽管如此，我还是要争辩说，四推导过于密集，无法暴露出这个证明的动机和直觉。因此，我们将归纳简化为两个论证，并用更多的推理推导出其余的论证。
亨塞尔引理
亨塞尔引理。令 \(F\) 为整数环的非阿基米德局部域\(\mathfrak{o}_F=\{\alpha \inF:|\alpha| \le 1\}\)和素理想 \(\mathfrak {p}=\{\alpha \inF:|\alpha|<1\}\)。令\(f \in\mathfrak{o}_F[x]\)是一个多项式，其归约 \(\overline{f} \in k[x]\) 有一个简单的根\(a \in k\) ，那么 \(a\) 可以提升到 \(\alpha \equiv a \mod \mathfrak{p}\)，使得\(f(\alpha)=0\) 。
简单的根是指 \(\overline{f}(a)=0\) 但 \(\overline{f}'(a) \ne 0\)。在证明这个引理之前，我们看一些例子。
示例和应用
7-adicNumbers 中 2 的平方根
把\(F=\mathbb{Q}_7\) 。然后 \(\mathfrak{o}_F=\mathbb{Z}_7\)、\(\mathfrak{p}=7\mathbb{Z}_7\) 和 \(k=\mathbb{F}_7\)。我们证明\(2\)的平方根在 \(F\) 中。注意 \(\overline{f}(x)=x^2-2=(x-3)(x+3) \ink[x]\)，因此我们有 \(\overline{f}\ 的两个简单根)，即 \(3\) 和 \(-3\)。提升到 \(\mathfrak{o}_F\)，我们有两个根 \(\alpha_1 \equiv 3 \mod 7\mathbb{Z}_7\) 和\(\alpha_2 \equiv -3 \mod7\mathbb{Z }_7\) ，属于\(f\) 。对于\(\alpha_1\) ，我们有
\[\begin{对齐}2 &\equiv 3^2 \mod 7 \\2 &\equiv (3+7)^2 \mod 7^2 \\&\cdots\cdots\end{对齐}\]
因此我们可以把 \(\alpha=\sqrt{2}=3+7+2\cdot 7^2+6\cdot7^3\cdots\in\mathbb{Z}_7 \subset \mathbb{Q}_7\ ）。同样\(\alpha_2\) 可以理解为\(-\sqrt{2}\)。这种展开与我们在 \(\mathbb{Q}\) 或 \(\mathbb{R}\) 中的理解完全不同。
团结的根源
因为\(k\)是一个有限域，所以我们看到\(k^\times\)是一个有序循环群\(q-1\)其中 \(q=p^n=|k|\) 对于一些素数 \ (p\)。因此对于所有 \(x\in k^\times\)，\(x^{q-1}=1\)。因此 \(f(x)=x^{q-1}-1\) 在 \(k\) 中有 \(q-1\) 不同的根。根据 Hensel 引理，\(F\) 包含所有 \((q-1)\)st 单位根。 \(F\)是否同构于\(\mathbb{Q}_p\)或 \(\mathbb{F}_q((t))\) 并不重要。
亨塞尔引理的证明（附解释）
选择任何\(a_0\in\mathfrak{o}_F\) ，它是 \(a\mod\mathfrak{p}\) 的提升。定义
\[a_n=a_{n-1}-\frac{f(a_{n-1})}{f'(a_{n-1})},\quad n \ge 1,\]
然后我们声称\(a_n\)收敛到我们正在寻找的根。
第 1 步 – 用牛顿法建立一个序列
首先，我们需要证明\(a_n\in \mathfrak{o}_F\) ，即\(|a_n| \le1\)对于所有\(n\) 。证明\(|f(a_{n-1})/f'(a_{n-1})|\le 1\)就足够了。我们首先观察 \(n=1\) 的情况。
由于\(\overline{f}(a)=0\)但\(\overline{f}'(a) \ne 0\) ，我们有\(f(a_0) \in \mathfrak{p}\)但是 \(f'(a_0)\not\in\mathfrak{p}\)。因此， \(|f(a_0)|<1\)但 \(|f'(a_0)|=1\)。因此，\(|f(a_0)/f'(a_0)|<1\)，这意味着\(f(a_0)/f'(a_0) \in\mathfrak{o}_F\) ，因此\ (a_1\in \mathfrak{o}_F\) 。
由泰勒定理。
\[f'(a_n)=f'(a_{n-1})+f”(a_{n-1})(a_n-a_{n-1})+g_n(a_n)(a_n-a_{ n-1})^2\]
对于一些\(g_n \in\mathfrak{o}_F[x]\) 。当 \(n=1\) 时，我们看到 \(g_1(a_1) \in \mathfrak{o}_F\) 并且结果是\(|g_1(a_1)| \le 1\) 。因此
\[|f'(a_1)|=\max\{|f'(a_0)|,|f”(a_{0})(a_1-a_0)|,|g_1(a_1)(a_1-a_0)^ 2|\}=|f'(a_0)|=1.\]
由于\(a_1 \in \mathfrak{o}_F\) ，我们还看到\(f(a_1) \in\mathfrak{o}_F\)因此它的绝对值不大于\(1\) 。结果 \(|f(a_1)/f'(a_1)| \le 1\)，这意味着\(a_2 \in \mathfrak{o}_F\) 。
这启发我们提出以下两个陈述：
-
\(|f(a_n)| < 1\)对于所有\(n \ge 0\) 。
-
\(|f'(a_n)|=|f'(a_0)|=1\) 对于所有\(n \ge 0\) 。
我们已经验证了 (a) 和 (b) 对于 \(n=0\) 和 \(n=1\)。现在假设 (a) 和 (b) 对于\(n-1\)是正确的，那么对于 \(n\)，我们将验证如下。
首先，通过 (a) 和 (b) 对于 \(n-1\)，我们看到 \(a_n \in \mathfrak{o}_F\)。
考虑泰勒展开式
\[\begin{对齐}f(a_n)&=f(a_{n-1})+f'(a_{n-1})(a_n-a_{n-1})+h_n(a_n)(a_n -a_{n-1})^2\\ &=f(a_{n-1})-f'(a_{n-1})\frac{f(a_{n-1})}{f’ (a_{n-1})}+h_n(a_n) \left(\frac{f(a_{n-1})}{f'(a_{n-1})}\right)^2 \\ & = h_n(a_n)\left(\frac{f(a_{n-1})}{f'(a_{n-1})}\right)^2\end{对齐}\]
其中\(h_n \in \mathfrak{o}_F[x]\) 。因此\(h_n(a_n)| \le 1\) 。因为\(|f'(a_{n-1})|= 1\) ，通过 (b) 我们实际上有
\[|f(a_n)| \le |f(a_{n-1})|^2<1.\]
为了证明 (b) 对于\(n\) ，我们考虑泰勒展开式
\[f'(a_n)=f'(a_{n-1})+f”(a_{n-1})(a_n-a_{n-1})+g_n(a_n)(a_n-a_{ n-1})^2\]
请注意，由于\(a_n \in\mathfrak{o}_F\) ，我们有 \(f”(a_{n-1}),g_n(a_n) \in\mathfrak{o}_F\)。通过 (a) 和 (b) 对于 \(n-1\)，我们看到
\[\begin{对齐}|f”(a_{n-1})(a_n-a_{n-1})|&=|f”(a_{n-1})||f(a_{ n-1})|<1,\\|g_n(a_n)(a_{n}-a_{n-1})^2|&=|g_n(a_n)||f(a_{n-1}) |^2<1.\end{对齐}\]
因此
\[\begin{对齐}|f'(a_n)|&=\max\{|f'(a_{n-1}),|f”(a_{n-1})(a_n-a_{n -1})|,|g_n(a_n)(a_{n}-a_{n-1})^2|\}\\ &=|f'(a_{n-1})|\end{对齐} \]
回想一下，对于非阿基米德绝对值，\(|x+y|=\max\{|x|,|y|\}\) iff \(|x| \ne |y|\)。通过这个过程，我们也证明了（b）。
第 2 步 – 验证收敛
我们需要证明\(\{a_n\}\)是一个柯西序列。为此，只要证明 \(|f(a_n)| \to 0\) 足够快就足够了。回想一下 (a) 的证明，我们已经证明对于所有的 \(n\) 都有 \(|f(a_n)| \le |f(a_{n-1})|^2\)。通过归纳应用这个关系，我们看到\(|f(a_n)| \le |f(a_0)|^{2^n}\) 。由于\(|f(a_0)|<1\) ，因此\ (|f(a_n)| \to 0\)作为 \(n \to \infty\)。
对于任何\(\varepsilon>0\) ，存在\(N>0\)使得 \(|f(a_n)| <\varepsilon\) 对于所有 \(n \ge N\)。因此，对于所有 \(m>n>N\)，我们有
\[\begin{对齐}|a_m-a_n|&=|(a_m-a_{m-1})+(a_{m-1}-a_{m-2})+\dots+(a_{n+1 }-a_{n})|\\ &\le\max\{|a_m-a_{m-1}|,\dots,|a_{n+1}-a_n|\} \\ &\le |f (a_n)| \\ &< \varepsilon.\end{对齐}\]
因此\(\{a_n\}\)是柯西。由于\(F\)是完备的，\(a_n\) 收敛到一些 \(\alpha \in \mathfrak{o}_F \subset F\) 使得\( f(\alpha)=\lim_{n \to\infty}f(a_n)=0\) 。
第 3 步 – 验证一致性
在局部领域，一致性是由不平等决定的。事实上，我们只需要证明 \(|\alpha-a_0|<1\)，这意味着 \(\alpha-a_0 \in \mathfrak{p}\)，因此\(\alpha \equiv a \mod \mathfrak{p}\)符合预期。为此，我们通过归纳证明\(|a_n-a_0|<1\) 。对于 \(n=1\)，我们看到 \(|a_1-a_0|=|f_0|<1\)。
假设\(|a_{n-1}-a_0|<1\)那么
\[|a_n-a_0| \le \max\{|a_n-a_{n-1}|,|a_{n-1}-a_0|\}<1.\]
因此\(|\alpha-a_0|=\lim_{n \to\infty}|a_n-a_0|<1\) ，结果如下。 \（\正方形\）
更强的版本
事实上，我们并没有明确地使用 \(a\) 是一个简单的根这一事实。我们只使用了\(|f(a_0)|<1\)但 \(|f'(a_0)|=1\) 的事实。此外，这里真正重要的是\(|f(a_n)|\)足够快地收敛到\(0\) 。因此\(1\)可以用更小的常数代替。出于这个原因，我们引入了一个更强版本的亨塞尔引理。
亨塞尔引理，更强的版本。令 \(F\) 为整数环的非阿基米德局部场\(\mathfrak{o}_F\)。假设存在\(a \in\mathfrak{o}_F\)使得 \(|f( a)|<|f'(a)|^2\)，则存在一些\(b \in \mathfrak{o}_F\)使得\(f(b)=0\)和 \(|ba| <|f'(a)|\)。
证明几乎是一样的。我们不是断言所有 \(n\) 的 \(|f'(a_n)|=1\)，而是声称 \(|f'(a_n)|=|f'(a_0)|\) （应该是！）。代替断言 \(|f(a_n)|<1\)，我们声明 \(|f(a_n)| \le \lambda^{2^n}|f'(a_0)|\)其中 \(\ λ=|f(a_0)|/|f'(a_0)|^2\)。证明将几乎相同。
例如，我们可以在 \(\mathbb{Z}_2 \subset \mathbb{Q}_5\) 中找到 \(257\) 的平方根。多项式\(f(x)=x^2-257\ )在\(\mathbb{F }_2[x]\) ，其中 \(1\) 不是简单的根。因此，我们不能将原始版本的 Hensel 引理应用于这个多项式。尽管如此，我们看到\(f(1)=-256\)和\(f'(1)=2\) 。因此 \(|f(1)|=\frac{1}{2^8}\) 而 \(|f'(1)|=\frac{1}{2}\)。我们可以在这里应用牛顿法求 \(257\) 的平方根，而不用担心重根。
结束语
Hensel 引理有很多变体，例如你可以做 Atiyah-MacDonald 的 10.9 的练习。事实上，我们后来甚至有 Henselian ring 和 Henselisation of a ring。
在这篇文章中还有一些其他的亨塞尔引理证明，例如，由于牛顿法也可以理解为收缩映射，我们也可以使用收缩映射的性质来证明它（见 K.Conrad 的注释）。